托勒密定理(托勒密定理的向量形式)
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2023-11-28
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1. 托勒密定理,托勒密定理的向量形式?
托勒密定理是指在一个四边形中,对角线的平方等于相邻两边的平方和加上另一些两侧的乘积之积,即:
AC² = AB² + BC² + CD² + DA² - 2AB×BCcos∠ABC
其中,AB、BC、CD、DA 表示四边形的四条边,AC 表示对角线的长度,∠ABC 表示对角线所夹的角,cos∠ABC 表示该角的余弦值。
将上式变形,可得:
2AB×BCcos∠ABC = AB² + BC² + CD² + DA² - AC²
这个式子可以被写成向量形式,记 A、B、C、D 为四边形的四个顶点的向量,则有:
|AB| = |B - A|
|BC| = |C - B|
|CD| = |D - C|
|DA| = |A - D|
|AC| = |C - A|
根据向量的内积公式,可以得到:AB·BC = |AB|×|BC|×cos(∠ABC),即:
AB·BC = (B - A)·(C - B) = BCx(Bx - Ax) + BCy(By - Ay)
其中,Ax、Ay、Bx、By、Cx、Cy 分别是 A、B、C 的横、纵坐标。
将上式带入托勒密定理的向量形式中,得到:
2(B - A)·(C - B) = |AB|² + |BC|² + |CD|² + |DA|² - |AC|²
即:
2(Bx - Ax)(Cx - Bx) + 2(By - Ay)(Cy - By) = |AB|² + |BC|² + |CD|² + |DA|² - |AC|²
这就是托勒密定理的向量形式。
2. 托勒密定理怎样推出正弦?
一、(以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况。) 在任意四边形ABCD中,作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 因为△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 而∠BAC=∠DAE,,∠ACB=∠ADE 所以△ABC∽△AED相似. BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD (仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”) 所以命题得证 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数,则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是:(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式: (a ?? b)(c ?? d) + (a ?? d)(b ?? c) = (a ?? c)(b ?? d) ,两边取模,运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上,托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、 设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上,圆周角∠BAC = ∠BDC,而在AB上,∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K,使得∠ABK = ∠CBD; 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD,所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似,同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD,且CK/BC = DA/BD; 因此AK·BD = AB·CD,且CK·BD = BC·DA; 两式相加,得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA; 但AK+CK = AC,因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。 三、 托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).已知:圆内接四边形ABCD,求证:AC·BD=AB·CD+AD·BC. 证明:如图1,过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP.得AC:BC=AD:BP,AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP.得AC:CD=AB:DP,AC·DP=AB·CD ②。①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC. 编辑本段推论 1.任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆、 编辑本段推广 托勒密不等式:四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积,取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明:复数恒等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模, 得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 注意: 1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 欧拉定理:在一条线段上AD上,顺次标有B、C两点,则AD·BC+AB·CD=AC·BD你现在是高中吧。。以后这个公式可以直接用 不用推出的。。
3. 托勒密定理证明平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和?
托勒密定理是由古希腊数学家托勒密(Torricelli)发现的,它表述为:
如果一个矩形对其对角线、对边的平方和相等,那么这个矩形是正方形。
下面是一个托勒密定理的证明:
假设一个矩形ABCD,其对角线AD和BC互相平分,且BD=CD。
由于矩形对角线、对边的平方和相等,所以对角线的平方+BD的平方=AD的平方+BC的平方。即 (对角线平方+BD的平方) = (AD平方+BC平方)。
将矩形ABCD的对角线 AD 和 BC 分别表示为 x 和 y,矩形ABCD 的对边分别为 a 和 b,然后有:
对角线的平方 = x^2
BD^2 = y^2 - x^2 = (y-x)^2
AD^2 = a^2 + b^2 - 2ab(y-x) = (a+b)^2 - 2abxy
BC^2 = a^2 + b^2 - 2ab(x-y) = (a-b)^2 - 2abxy
将它们相加,得到:
(对角线平方 + BD^2) + (AD^2 + BC^2) = a^2 + b^2 + (a+b)^2 - 2abxy
化简后得到:
对角线平方 + 2 BD^2 + 2 AD^2 + 2 BC^2 = a^2 + b^2 + 4abxy
(对角线平方 + 2BD^2 + 2AD^2 + 2BC^2) = (a+b)^2 + 4abxy
将 a+b 表示为 z,然后有:
对角线平方 + 2BD^2 + 2AD^2 + 2BC^2 = z^2 + 4abxy
因此,平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和,即:
对角线的平方 + 四条边平方 = 4 倍 对角线长度的平方
4. 如何证明托勒密定理?
圆内接四边形的对边的乘积和。等于对角线的乘积。证明的方法可以用面积来证明。因为同弧所对的圆周角相等,因此这些三角形的面积,就用底乘高除二来表示。然后加在一起就是原理及四边形的面积。从而推出这个结论。
5. 托勒密定理的发展史?
一般几何教科书中的“托勒密定理”,实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书中摘出。
摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
定理表述:圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和
6. 托勒密定理的证明及其应用?
托勒密定理,又称为欧几里得定理的一个推广,是古希腊数学家托勒密发现的。它是一个关于直角三角形的重要数学定理,表述为:在一个直角三角形中,斜边的平方等于两条直角边的平方和,即 a²+b²=c²。托勒密定理不仅在数学中有广泛的应用,还在物理、工程和其他领域中得到了广泛的应用。
证明过程如下:
1. 设三角形ABC的三个内角分别为A、B、C,其中∠C为直角。
2. 将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形ADC。
3. 连接AB,CD,AD,则四边形ABCD是一个正方形。
4. 根据勾股定理,有AC² = AD² + CD²。
5. 因为△ABC≌△ADC(SAS),所以AB = AD,BC = CD。
6. 因此,AB² + BC² = AD² + CD²。
7. 由于∠ACB = 90°,所以AC² = AB² + BC²。
8. 结合第4步和第7步的结果,我们得到 AC² = AD² + CD² = AB² + BC²。
9. 所以,a²+b²=c²。
此外,托勒密定理还可以用于证明四点共圆的问题。在解决与圆相关的几何问题时,托勒密定理为我们提供了强有力的工具。
7. 什么是托氏定理?
托勒密定理: 圆内接四边形ABCD的两组对边乘积的和等于它的两条对角线的乘积,即AB*CD+AD*BC=AC*BD。
过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP. 又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP. ①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC. 即AC·BD=AB·CD+AD·BC.
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1. 托勒密定理,托勒密定理的向量形式?
托勒密定理是指在一个四边形中,对角线的平方等于相邻两边的平方和加上另一些两侧的乘积之积,即:
AC² = AB² + BC² + CD² + DA² - 2AB×BCcos∠ABC
其中,AB、BC、CD、DA 表示四边形的四条边,AC 表示对角线的长度,∠ABC 表示对角线所夹的角,cos∠ABC 表示该角的余弦值。
将上式变形,可得:
2AB×BCcos∠ABC = AB² + BC² + CD² + DA² - AC²
这个式子可以被写成向量形式,记 A、B、C、D 为四边形的四个顶点的向量,则有:
|AB| = |B - A|
|BC| = |C - B|
|CD| = |D - C|
|DA| = |A - D|
|AC| = |C - A|
根据向量的内积公式,可以得到:AB·BC = |AB|×|BC|×cos(∠ABC),即:
AB·BC = (B - A)·(C - B) = BCx(Bx - Ax) + BCy(By - Ay)
其中,Ax、Ay、Bx、By、Cx、Cy 分别是 A、B、C 的横、纵坐标。
将上式带入托勒密定理的向量形式中,得到:
2(B - A)·(C - B) = |AB|² + |BC|² + |CD|² + |DA|² - |AC|²
即:
2(Bx - Ax)(Cx - Bx) + 2(By - Ay)(Cy - By) = |AB|² + |BC|² + |CD|² + |DA|² - |AC|²
这就是托勒密定理的向量形式。
2. 托勒密定理怎样推出正弦?
一、(以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况。) 在任意四边形ABCD中,作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 因为△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 而∠BAC=∠DAE,,∠ACB=∠ADE 所以△ABC∽△AED相似. BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD (仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”) 所以命题得证 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数,则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是:(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式: (a ?? b)(c ?? d) + (a ?? d)(b ?? c) = (a ?? c)(b ?? d) ,两边取模,运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上,托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、 设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上,圆周角∠BAC = ∠BDC,而在AB上,∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K,使得∠ABK = ∠CBD; 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD,所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似,同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD,且CK/BC = DA/BD; 因此AK·BD = AB·CD,且CK·BD = BC·DA; 两式相加,得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA; 但AK+CK = AC,因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。 三、 托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).已知:圆内接四边形ABCD,求证:AC·BD=AB·CD+AD·BC. 证明:如图1,过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP.得AC:BC=AD:BP,AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP.得AC:CD=AB:DP,AC·DP=AB·CD ②。①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC. 编辑本段推论 1.任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆、 编辑本段推广 托勒密不等式:四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积,取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明:复数恒等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模, 得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 注意: 1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 欧拉定理:在一条线段上AD上,顺次标有B、C两点,则AD·BC+AB·CD=AC·BD你现在是高中吧。。以后这个公式可以直接用 不用推出的。。
3. 托勒密定理证明平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和?
托勒密定理是由古希腊数学家托勒密(Torricelli)发现的,它表述为:
如果一个矩形对其对角线、对边的平方和相等,那么这个矩形是正方形。
下面是一个托勒密定理的证明:
假设一个矩形ABCD,其对角线AD和BC互相平分,且BD=CD。
由于矩形对角线、对边的平方和相等,所以对角线的平方+BD的平方=AD的平方+BC的平方。即 (对角线平方+BD的平方) = (AD平方+BC平方)。
将矩形ABCD的对角线 AD 和 BC 分别表示为 x 和 y,矩形ABCD 的对边分别为 a 和 b,然后有:
对角线的平方 = x^2
BD^2 = y^2 - x^2 = (y-x)^2
AD^2 = a^2 + b^2 - 2ab(y-x) = (a+b)^2 - 2abxy
BC^2 = a^2 + b^2 - 2ab(x-y) = (a-b)^2 - 2abxy
将它们相加,得到:
(对角线平方 + BD^2) + (AD^2 + BC^2) = a^2 + b^2 + (a+b)^2 - 2abxy
化简后得到:
对角线平方 + 2 BD^2 + 2 AD^2 + 2 BC^2 = a^2 + b^2 + 4abxy
(对角线平方 + 2BD^2 + 2AD^2 + 2BC^2) = (a+b)^2 + 4abxy
将 a+b 表示为 z,然后有:
对角线平方 + 2BD^2 + 2AD^2 + 2BC^2 = z^2 + 4abxy
因此,平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和,即:
对角线的平方 + 四条边平方 = 4 倍 对角线长度的平方
4. 如何证明托勒密定理?
圆内接四边形的对边的乘积和。等于对角线的乘积。证明的方法可以用面积来证明。因为同弧所对的圆周角相等,因此这些三角形的面积,就用底乘高除二来表示。然后加在一起就是原理及四边形的面积。从而推出这个结论。
5. 托勒密定理的发展史?
一般几何教科书中的“托勒密定理”,实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书中摘出。
摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
定理表述:圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和
6. 托勒密定理的证明及其应用?
托勒密定理,又称为欧几里得定理的一个推广,是古希腊数学家托勒密发现的。它是一个关于直角三角形的重要数学定理,表述为:在一个直角三角形中,斜边的平方等于两条直角边的平方和,即 a²+b²=c²。托勒密定理不仅在数学中有广泛的应用,还在物理、工程和其他领域中得到了广泛的应用。
证明过程如下:
1. 设三角形ABC的三个内角分别为A、B、C,其中∠C为直角。
2. 将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形ADC。
3. 连接AB,CD,AD,则四边形ABCD是一个正方形。
4. 根据勾股定理,有AC² = AD² + CD²。
5. 因为△ABC≌△ADC(SAS),所以AB = AD,BC = CD。
6. 因此,AB² + BC² = AD² + CD²。
7. 由于∠ACB = 90°,所以AC² = AB² + BC²。
8. 结合第4步和第7步的结果,我们得到 AC² = AD² + CD² = AB² + BC²。
9. 所以,a²+b²=c²。
此外,托勒密定理还可以用于证明四点共圆的问题。在解决与圆相关的几何问题时,托勒密定理为我们提供了强有力的工具。
7. 什么是托氏定理?
托勒密定理: 圆内接四边形ABCD的两组对边乘积的和等于它的两条对角线的乘积,即AB*CD+AD*BC=AC*BD。
过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP. 又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP. ①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC. 即AC·BD=AB·CD+AD·BC.本站涵盖的内容、图片、视频等数据系网络收集,部分未能与原作者取得联系。若涉及版权问题,请联系我们删除!联系邮箱:ynstorm@foxmail.com 谢谢支持!